在職中に２ヵ月以上健康保険に加入していたら、退職後も２０日以内に手続きすれば、その健康保険に最長２年間、任意加入できるという制度があります。２－２０－２と覚えると忘れないです。
継続と聞くと、会社の健康保険をそのまま引き継ぐというイメージですが実際には、会社の健康保険から抜けて新たにその健康保険に入りなおすという手続きですから健康保険証も新たに発行されます。扶養家族にも保険証が発行されます。 保険料は会社の１／２負担がないため全額自己負担となりますから、在職中に払った額の２倍になります。ただし上限は、給料(正確には標準報酬月額)３０万円分の保険料となります。
例えば、東京都の協会けんぽの場合で計算してみます。(２０１９年４月時点)
退職時の標準報酬月額が２０万円(１７等級)だった人の場合：
在職中の健康保険料は９,９００円でしたので任意継続での保険料は、１９,８００円です。
退職時の年齢が４０歳以上の人は介護保険料も払うので、２３,２６０円となります。
退職時の標準報酬月額が４４万円(２８等級)だった人の場合：
在職中の健康保険料は２１,７８０円でしたので任意継続での保険料は、２倍の４３,５６０円ですが、上限の標準報酬月額３０万円(２０１９年４月以降)が適用されるので実際に払う保険料は２９,７００円です。介護保険料も払う人は３４,８９０円となります。
保険料は毎月１０日までに自分で納付しますが、納付書による支払い、口座振替、前納の中から選べます。任意継続の保険料は、２年間変わりませんし、扶養家族がいても変わりません。
保険からの給付は、在職中には受けられた傷病手当金と出産手当金は出ませんが、そのほかは在職中と変わりません。例えば自己負担は３割ですし、高額療養費もあります。
では任意加入の手続きはどうすればよいかというと、退職してから２０日以内に自分の住所の都道府県の協会けんぽ支部で手続きします。各支部の所在地はこちらでご確認ください。
手続の際に必要な書類は加入申出書、マイナンバーが確認できるものと退職日が確認できる書類です。
申出書はこちらからダウンロードできます。
退職日が確認できる書類とは、離職票又は雇用保険資格喪失確認通知書、社会保険資格喪失届の写しまたは 会社が証明した退職証明書の写し（資格喪失連絡票 でもよいです）のうちどれか一つでよいです。もしこのどれも用意できないときでも申出書だけを出すことはできますが、保険証が発行されるのは会社が社会保険の退職の手続きをした後になります。
保険証はその場では発行されず後日郵送で自宅に送られてきます。
最後に、任意継続を考えるときに国民健康保険に加入するのとどちらが良いかと迷うことがあると思います。協会けんぽと国保との比較だったら、原則的には保険料の安い方を選ぶということでよいかと思いますが、一応比較してみます。
任意継続：
１．加入期間は2年（途中でやめられるのは、保険料未納、再就職後に社会保険に加入、死亡、７５歳到達のときだけ。)
２．保険料は2年間変わらない。
３．扶養家族がいても保険料は変わらない。
４．健康保険組合の場合には付加給付が付く場合がある。
国民健康保険：
１．７５歳になるまで加入できる。
２．保険料は前年の収入に応じて決まる。（退職の理由によっては減免する自治体もある）
３．扶養家族など加入者数に応じて保険料が上がる。
４．付加給付は原則ない。